Dấu hiệu chia hết cho 2 , 5 , 3 , 9 .

Chia hết cho	Dấu hiệu
2	Chữ số tận cùng là số chẵn (0,2,4,6,8)
5	Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
3	Tổng các chữ số chia hết cho 3
9	Tổng các chữ số chia hết cho 9

Ví dụ:

a) Số 15552 chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 2 và 2 là số chẵn.

b) Số 955 không chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 5 và 5 là số lẻ.

c) Số 955 và 1010 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5 và 0.

d) Số 1994 và 1653 không chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 4 và 3, hai số này đều khác 0 và 5.

e) Số 1944 chia hết cho 9 vì có tổng các chữ số là 1+9+4+4=18 chia hết cho 9.

f) Số 7325 không chia hết cho 9 vì có tổng các chữ số là 7+3+2+5=17 không chia hết cho 9.

g) Số 90156 chia hết cho 3 vì có tổng các chữ số là 9+0+1+5+6=21 chia hết cho 3.

h) Số 6116 không chia hết cho 3 vì có tổng các chữ số là 6+1+1+6=14 không chia hết cho 3. 

Chú ý: + Các số có chữ số tận cùng là 0 thì vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5.

• Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT

I. Nhận biết các số chia hết cho 2

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

a) Các số 104, 12456, 1558 có chữ số tận cùng là số chẵn nên chia hết cho 2.

b) Các số 12345, 1234567 có chữ số tận cùng là số lẻ (5, 7) nên không chia hết cho 2.

II. Viết các số chia hết cho 2 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp

Các số chia hết cho 2 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 2 hoặc 4 hoặc 6 hoặc 8 .

Ví dụ:

Từ 3 số 2 , 3 , 7 . Hãy ghép thành các số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 .

Giải:

Số được ghép thành chia hết cho 2 nên phải có chữ số hàng đơn vị là 2 .

Hai chữ số hàng chục có thể là 3 hoặc 7 .

Nếu chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng trăm là 7 . Ta được số cần tìm là 732 .

Nếu chữ số hàng chục là 7 thì chữ số hàng trăm là 3 . Ta được số cần tìm là 372 .

Vậy có 2 số có thể ghép thành là 372 và 732 .

III. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 2

Phương pháp

 Số dư trong phép chia cho 2 chỉ có thể là 0 hoặc 1.

Ví dụ:

Cho số N= $\overline{5a}$ . Tìm các số tự nhiên N sao cho N chia cho 2 dư 1 .

Giải:

Ta có:  a ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; . . . . . . . ; 9 }

Mà N chia cho 2 dư 1 nên a chỉ có thể là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 .

=> N có thể là 51 ; 53 ; 55 ; 57 ; 59

IV. Nhận biết các số chia hết cho 5

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

a) Số 12345 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5

b) Số 1254360 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5

c) Các số 5459, 34544,1498 không có chữ số tận cùng là 0 cùng không có chữ số tận cùng là 5 nên không chia hết cho 5.

V. Viết các số chia hết cho 5 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp

Các số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 .

Ví dụ:

Với 3 số 2 , 3 , 5 , hãy lập các chữ số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 .

Giải:

Số cần tìm chia hết cho 5 nên có chữ số hàng đơn vị là 5.

Chữ số hàng chục có thể là 2 hoặc 3.

Nếu chữ số hàng chục là 2 thì chữ số hàng trăm là 3. Ta được số cần tìm là 325.

Nếu chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng trăm là 2. Ta được số cần tìm là 235.

Vậy có 2 số thỏa mãn bài toán là 235 và 325.

VI. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 5

Phương pháp giải

• Số dư trong phép chia cho 5 chỉ có thể là 0, hoặc 1,hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4.

• Mọi số tự nhiên n luôn có thể được viết một trong 5 dạng sau:

+) Dạng 1: n

5 k (số chia hết cho 5); 

+) Dạng 2: n

5 k + 1 (số chia cho 5 dư 1);

+) Dạng 3: n

5 k + 2 (số chia cho 5 dư 2);

+) Dạng 4: n

5 k + 3 (số chia cho 5 dư 3);

+) Dạng 5: n

5 k + 4 (số chia cho 5 dư 4).

Với k ∈ Z .

Ví dụ: Cho số N= $\overline{5a}$ . Tìm các số tự nhiên N sao cho N chia cho 5 dư 1 .

Giải:

Vì N chia cho 5 dư 1 mà  a ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; . . . . . . . ; 9 } nên a chỉ có thể là 1 hoặc 6 .

=> N có thể là 51 ; 56 .

VII. Nhận biết các số chia hết cho 9

Phương pháp giải

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho cho 9.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

100984 có tổng các chữ số là: 1+9+8+4=22

22 là số không chia hết cho 9 nên 100984 không chia hết cho 9

13545 có tổng các chữ số là: 1+3+5+4+5=18. Số 18 chia hết cho 9 nên 13545  chia hết cho 9.

VIII. Viết các số chia hết cho 9 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp

Các số chia hết cho 9 là các số có tổng các chữ số chia hết cho 9.

Ví dụ:

Cho $\overline{1a32}$

 chia hết cho 9. Tìm số thay thế cho a .

Giải:

Tổng các chữ số của $\overline{1a32}$ là 1 + a + 3 + 2

a + 6 để số $\overline{1a32}$ chia hết cho 9 thì a + 6 phải chia hết cho 9.

Do a là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

0 + 6 ≤ a + 6 ≤ 9 + 6 ⇒ 6 ≤ a + 6 ≤ 15

Số chia hết cho 9 từ 6 đến 15 chỉ có đúng một số 9, do đó a + 6

9 ⇒ a= 3

Vậy số thay thế cho a chỉ có thể là 3.

IX. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 9

Phương pháp giải

• Sử dụng tính chất: Số dư của một số khi chia cho 9 bằng số dư của tổng các chữ số của số đó khi chia cho 9 .

Ví dụ:

Cho số N = $\overline{5a}$ . Tìm các số tự nhiên N sao cho N chia cho 9 dư 5 .

Giải:

Vì N chia cho 9 dư 5 nên a + 5 chia cho 9 dư 5 .

=> a chia hết cho 9 .

Mà  a ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; . . . . . . . ; 9 }

=> a chỉ có thể là 0 ; 9

=> N có thể là 50 ; 59

X. Nhận biết các số chia hết cho 3

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

a) 555464 có tổng các chữ số là: 5+5+5+4+6+4=29 không chia hết cho 3 nên 555464 không chia hết cho 3.

b) 15645 có tổng các chữ số là: 1+5+6+4+5=21 chia hết cho 3 nên 15645 chia hết cho 3.

XI. Viết các số chia hết cho 3 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp giải

Các số chia hết cho 3 là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3.

Ví dụ:

Cho $\overline{1a3}$  chia hết cho 3. Tìm số thay thế cho a .

Giải:

Tổng các chữ số của $\overline{1a3}$ là 1 + a + 3

a + 4 để số $\overline{1a3}$ chia hết cho 3 thì a + 4 phải chia hết cho 3.

Do a là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

0 + 4 ≤ a + 4 ≤ 9 + 4 ⇒ 4 ≤ a + 4 ≤ 13

Số chia hết cho 3 từ 4 đến 13 có 3 số lần lượt là 6, 9, 12.

Với  a + 4= 6 ⇒ a =2 .

Với  a + 4 =9 ⇒ a =5

Với  a + 4= 12 ⇒ a =8

Vậy số thay thế cho a có thể là 2, 5, 8.

XII. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 3

Phương pháp

• Số dư trong phép chia cho 3 chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2.

• Mọi số tự nhiên n luôn có thể được viết một trong 3 dạng sau:

+) Dạng 1: n

3 k (số chia hết cho 3); 

+) Dạng 2: n

3 k + 1 (số chia cho 3 dư 1);

+) Dạng 3: n

3 k + 2 (số chia cho 3 dư 2)

Với k ∈ Z .

Ví dụ:

Cho số N

$\overline{5a}$ . Tìm các số tự nhiên N sao cho N chia cho 3 dư 2 .

Giải:

N = $\overline{5a}$ = 50 + a

Vì N chia cho 3 dư 2 nên N − 2 chia hết cho 3 .

=> 50 + a − 2 chia hết cho 3 .

=> a + 48 chia hết cho 3 .

Vì 48 chia hết cho 3 nên để tổng a + 48 chia hết cho 3 thì a cũng phải chia chết cho 3 .

Mà  a ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; . . . . . . . ; 9 }

=> a chỉ có thể là 0 ; 3 ; 6 ; 9

=> N có thể là 50 ; 53 ; 56 ; 59